Олимпиада ПВГ – Решение заочного ура

ТВОРЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Летний отдых жители Цветочного города Знайка и Незнайка проводили в большом 25-этажном отеле на берегу моря. Знайка заметил, что все номера комнат от первой до его собственной включительно в сумме в полтора раза больше суммы всех номеров комнат от первой до той, в которой поселили Незнайку, включительно. Все номера в отеле занумерованы подряд от 1 до 1795 и Знайка живет в комнате с номером, большим 200. Определите, в каком номере живет Незнайка. Если получится несколько значений номеров, то в ответе напишите их сумму. Если таковых номеров нет, то напишите число 0.

Решение

2. В треугольнике ABC проведена высота BH, точка O — центр описанной около него окружности, длина ее радиуса равна R. Найдите выраженную в радианах величину наименьшего из углов ACB и BAC, если известно, что R = $\displaystyle \frac {5}{6}BH = \frac {5}{4}OH$ . При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

Решение

3. Решите неравенство $\displaystyle \frac {4^{-|x-3|}}{\sqrt{x^2-9}+2} <=\frac {2^{1-|x|}}{\sqrt{x^2+12x}+4}$ . В ответ запишите сумму длин интервалов решения, принадлежащих множеству [-2018,2018]. Если неравенство не имеет решений, то запишите -1.

Решение

4. Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 3125, для которых уравнение $\displaystyle x^{[x]} =n$ имеет решение. Здесь [x] – наибольшее целое число, не превосходящее x.

Решение

5. Дано 2017 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов. Объединение любых двух из этих множеств содержит 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех 2017 множеств?

Решение