1. Пусть x_1 и x_2 – корни уравнения sqrt(7)x^2-sqrt(116)*x+sqrt(112)=0. Вычислите |(1)\(x_1^2)-(1)\(x_2^2)|. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
2. Найти наименьшее значение x, удовлетворяющее неравенству (3x-x^2-2)*sqrt(4x+4x^2+x^3) >= 0. Ответ дайте в виде целого числа.
3. Вычислите (alpha-beta), если cos(alpha)+cos(beta)=-4/5 и sin(alpha)+sin(beta)=1/3. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
4. Каждое утро член семьи Ивановых выпивает 190-граммовую чашку кофе с молоком. Количество молока и кофе в чашках у них разное. Оля Иванова выяснила, что она выпила 1/5 часть всего выпитого в это утро молока и 2/13 части всего выпитого в это утро кофе. Сколько людей в этой семье? Ответ дайте в виде целого числа.
5. BL – биссектриса треугольника ABC. Найдите его площадь, если известно, что |AL|=2, |BL|=3*sqrt(10), |CL|=3. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
6. Решите уравнение 2x^3+54x=9+18x^2. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
7. Вычислите значение выражения arccos((sqrt(6)+1)/(2sqrt(3)))-arccos(sqrt(2/3)). Запишите полученное выражение в виде a*pi/b, где a и b —- целые, взаимно простые числа и укажите в ответе значение |a+b|. Ответ дайте в виде целого числа.
8. Среди первых ста элементов арифметической прогрессии 3, 10, 17,… найдите те, которые являются также элементами арифметической прогрессии 2, 5, 8,… В ответе укажите сумму найденных чисел. Ответ дайте в виде целого числа.
9. Найдите максимальное значение выражения cos((x-y)), если известно, что sin(x)-sin(y)=3/4. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
10. Кривая, заданная уравнением y=8^px^2+px-2^(p^2), пересекает ось Ox в точках A и B, а ось Oy в точке C. Найдите сумму всех значений параметра p, при которых центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на оси Ox. Ответ дайте в виде целого числа.
11. На столе в ряд лежит 14 гирек, упорядоченных по массе (слева —- самая легкая, справа —- самая тяжелая). Известно, что масса каждой гирьки равна целому числу грамм, массы любых двух соседних гирек отличаются не более, чем на 5 грамм, а суммарная масса не превосходит 2019 грамм. Найдите максимально возможную при этих условиях массу самой тяжелой гирьки. Ответ дайте в виде целого числа.
12. Упростить выражение (2)(sqrt[3](6))+6 right) – (frac(sqrt[3](6)+1)/5 – 1/(sqrt[3](36)+sqrt[3](6)+1)-2/(1-sqrt[3](6))right) : (6+sqrt[3](36)+2sqrt[3](6))/5. Ответ дайте в виде целого числа.
13. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35^circ, отрезки BB_1 и CC_1 —- высоты, точки B_2 и C_2 —- середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B_1С_2 и C_1B_2 пересекаются в точке K. Найдите величину (в градусах) угла B_1KB_2.
14. Уравнение x^2-5x+1=0 имеет корни x_1 и x_2. Найдите значение выражения ((x_1 sqrt(7))/(1+x_2))^2 + ((x_2 sqrt(7))/(1+x_1))^2. Ответ дайте в виде целого числа.
15. Решите систему уравнений 4y^2-x^2=36+12x; 4y^2+x^2=36-6xy. Получив решение (x_1;y_1), (x_2;y_2),…,(x_n;y_n) в ответ запишите сумму квадратов x^2_1+x_2^2+…+x_n^2+y_1^2+y^2_2+…+y_n^2. Ответ дайте в виде целого числа.
16. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (sin(pi*x)-cos(2pi*x))/((sin(pi*x)+1)^2+cos^2(pi*x))=0. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
17. Семь чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Сумма их кубов равна нулю, а сумма квадратов —- 756. Найдите наибольшее из этих чисел. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
18. Среди всевозможных треугольников ABC таких, что BC=8*sqrt[4](3), угол BAC=(2pi)/3, найдите тот, площадь которого максимальна. Чему равна эта площадь? Ответ дайте в виде целого числа.
19. Решите уравнение 5^(sqrt(x^3-3x^2+3x-1))=sqrt[3]((5^sqrt[4]((x-1)^7))^4 ). В ответ запишите корень, если он один, или сумму корней, если их несколько. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
20. Сколько целочисленных корней уравнения cos(2pi*x)+cos(pi*x)=sin(3pi*x)+sin(pi*x) лежит между корнями уравнения x^2+10x-17=0? Ответ дайте в виде целого числа.
21. Из пункта A в пункт B в 14:00 одновременно отправились автобус и пешеход. После прибытия в пункт B автобус, не задерживаясь, поехал обратно и встретил пешехода в пункте C в 14:10. Вернувшись в пункт A, автобус снова без задержки направился в пункт B и догнал пешехода в пункте D, находящемся на расстоянии 2/15 км от пункта C. Найдите скорость автобуса (в км/ч), если расстояние между пунктами A и B равно 4 км, а скорости автобуса и пешехода постоянны. Ответ дайте в виде целого числа.
22. Решите неравенство sqrt(x-3)+sqrt(x+2)+sqrt(3x-5)-sqrt(32-x)>4. Ответ дайте в виде целого числа.
23. Найдите наименьшее значение функции f(x)=tg^2(x)-4tg(x)-12ctg(x)+9ctg^2(x) – 3 на интервале (-pi/2;0). Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
24. Найдите сумму всех действительных корней уравнения sin((pi(x^2+3x+3)))=sin((pi(x+1))), принадлежащих отрезку [-2;0] . Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
25. Найдите все пары целых чисел (x,y), являющиеся решениями уравнения xy+15x-13y-37=0. В ответе укажите сумму найденных значений x.
26. Найдите наименьшее из целых значений a, при которых уравнение sqrt[3](x^2-(a-8)x-8a)+sqrt[3](5)=0 имеет хотя бы один целый корень. Ответ дайте в виде целого числа.