Ломоносов – Решения заочного тура 2018

Вычислите $\displaystyle 1-2+3-4+5-6+\cdots-2016+2017$ .

Решение

2. Найдите объѐм правильной четырѐхугольной пирамиды, если сторона еѐ основания равна $\displaystyle \sqrt {3}$ , а угол между боковой гранью и основанием равен $\displaystyle 60 \circ$ . Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

3. Последовательность $\displaystyle \lbrace x_n \rbrace$ задана условиями $\displaystyle x_1=20$ , $\displaystyle x_2=17$ , $\displaystyle x_{n+1}=x_n-x_{n-1}$ $\displaystyle (n \ge 2)$ . Найдите $\displaystyle x_{2018}$ . Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

4. Найдите все значения $\displaystyle x$ , при которых наибольшее из чисел $\displaystyle \sqrt{ \frac{x} {2}}$ и $\displaystyle tgx$ не больше, чем $\displaystyle 1$ . В ответ запишите суммарную длину найденных промежутков числовой прямой, округлив еѐ при необходимости до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

5. Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в $\displaystyle 2$ конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в $\displaystyle 3$ конверта, лишней снова оказалась одна марка; когда он разложил их поровну в $\displaystyle 5$ конвертов, лишними оказались $\displaystyle 3$ марки; наконец, когда он попытался их разложить поровну в $\displaystyle 9$ конвертов, осталось $\displaystyle 7$ марок. Сколько всего марок у Андрея, если недавно, для того чтобы разместить их все у себя, ему пришлось купить второй альбом на $\displaystyle 150$ марок, так как одного такого же альбома уже не хватало? Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

6. Через вершину $\displaystyle A$ параллелограмма $\displaystyle ABCD$ проведена прямая, пересекающая диагональ $\displaystyle BD$ , сторону $\displaystyle CD$ и прямую $\displaystyle BC$ в точках $\displaystyle E$ , $\displaystyle F$ и $\displaystyle G$ соответственно. Найдите $\displaystyle ED$ , если $\displaystyle FG:FE=7$ , $\displaystyle BE=8$ . Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

7. Найдите сумму цифр в десятичной записи целой части $\displaystyle \sqrt{\underbrace{11 \cdots 11}_{2018}\underbrace{55 \cdots 55}_{2017}6}$ . Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

8. Найдите все целые решения уравнения $\displaystyle x \log_{19} {81}=40 \ln {y} \log_{19} {e}$ . В ответе укажите сумму $\displaystyle x+y$ для решения $\displaystyle (x,y)$ , в котором $\displaystyle y$ — наибольшее, не превосходящее $\displaystyle 100$ . Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

9. Найдите наименьшее значение выражения $\displaystyle \frac{13x^{2}+24xy+13y^{2}+16x+14y+68} {(9-x^2-8xy-16y^2)^{5/2 }}$ . Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

10. В тетраэдре $\displaystyle EFGH$ известно, что $\displaystyle EF=GH=7$ , $\displaystyle EG=FH=10$ , $\displaystyle EH=FG=11$ . Точки $\displaystyle K, L, M, N$ являются центрами окружностей, вписанных в треугольники $\displaystyle EFG, EFH, EGH$ и $\displaystyle FGH$ . Найдите объѐм тетраэдра $\displaystyle KLMN$ . Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

Необходимо ввести систему координат по заданным сторонам. Далее можно будет вычислить центр каждой вписанной в соответствующую грань окружности по формулам $\displaystyle x_M=\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}$ , $\displaystyle y_M=\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}$ и $\displaystyle z_M=\frac{az_A+bz_B+cz_C}{a+b+c}$ , где $\displaystyle x_A, x_B, x_C$ – координаты соответствующих точек по $\displaystyle x$ , а $\displaystyle a,b$ и $\displaystyle c$ – длины сторон, лежащих напротив соответствующих вершин. Так можно получить координаты вершин тетраэдра $\displaystyle KLMN$ и найти его объём с помощью определителя.