Олимпиада “ФизТех” – Решения заданий заочного тура (математика)

\displaystyle
1. Две параболы \displaystyle y=x^2+ax+b и \displaystyle y=-3x^2+cx+d касаются в точке , лежащей на оси \displaystyle Ox . Через точку \displaystyle D – вторую точку пересечения первой параболы с осью \displaystyle Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке \displaystyle A , а общую касательную к параболам – в точке \displaystyle B . Найдите отношение \displaystyle DA:DB .

Решение

2. Внутри острого угла \displaystyle ABC взяты точки \displaystyle M и \displaystyle N так, что \displaystyle \angle ABM=\angle MBN=\angle NBC , \displaystyle AM \bot BM и \displaystyle AN \bot BN . Прямая \displaystyle MN пересекает луч \displaystyle BC в точке \displaystyle K . Найдите \displaystyle BN , если \displaystyle BM=18 , \displaystyle BK=7 .

Решение

3. Найдите количество целочисленных решений \displaystyle (a;b;c) уравнения \displaystyle 150^a*(200/3)^b*2250^c=33750 , удовлетворяющих условию \displaystyle \mid a+b+c\mid \leq 120 .

Решение

4. Дана последовательность \displaystyle y_n=n(n+1) . Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами \displaystyle k и \displaystyle l (l < 157 < k) делится на \displaystyle 3^{12} . Найдите наименьшее возможное значение суммы \displaystyle l+k .

Решение

5. Известно, что для всех пар положительных чисел \displaystyle (x;y) , для которых выполняются равенство \displaystyle x+y=8 и неравенство \displaystyle x^2+y^2>35 , выполняется и неравенство \displaystyle x^5+y^5>m . Какое наибольшее значение может принимать \displaystyle m ?

Решение

6. В правильный тетраэдр \displaystyle KLMN с ребром \displaystyle 9 \sqrt {5} вписана сфера \displaystyle \Omega . Куб \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 расположен так, что его диагональ \displaystyle A_1C_1 лежит на прямой \displaystyle KL , а прямая \displaystyle BD касается сферы \displaystyle \Omega в точке, лежащей на отрезке \displaystyle BD . Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 ? Ответ округлите до десятых.

Решение

7. Известно, что число a удовлетворяет уравнению \displaystyle x^3+3x^2+6x-9=0 , а число \displaystyle b – уравнению \displaystyle x^3+6x^2+15x+27=0 . Найдите наименьшее возможное значение суммы \displaystyle a+b .

Решение

8. Найдите наибольшее значение выражения \displaystyle cos(x+y+z) , если числа \displaystyle x;y;z являются решениями системы
\displaystyle \sqrt { \frac {21}{25}+cosx}=\frac {5}{4} siny+ \frac {2}{5}ctgy ;
\displaystyle \sqrt { \frac {21}{25}+cosy}=\frac {5}{4}sinz+\frac {2}{5}ctgz ;
\displaystyle \sqrt { \frac {21}{25}+cosz}=\frac {5}{4}sinx+\frac {2}{5}ctgx .
Ответ округлите до тысячных.

Решение

9. На столе лежит \displaystyle 210 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно \displaystyle 105 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

Решение

10. Во время опроса \displaystyle 72 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых \displaystyle 10 опрошенных по крайней мере \displaystyle 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем \displaystyle M можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся \displaystyle M человек, указавших один и тот же фильм?

Решение