САММАТ – Решения заочного тура 2018

1. Вычислить площадь треугольника, ограниченного касательными, проведенными к графику функции $\displaystyle y=\frac{2x}{x^2-3}$ в точках с абсциссами $\displaystyle x_1=1$ и $\displaystyle x_2=2$ и прямой, соединяющей точки касания. В ответе укажите полученный результат, умноженный на $\displaystyle 24$ .

Решение

2. Определим операцию $\displaystyle \otimes$ с переменными $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ следующим образом: $\displaystyle a\otimes b = \frac{2a+b}{a-b}$ .
Решить неравенство $\displaystyle 3 \otimes x \geq (x-2) \otimes x$ . В ответе запишите наименьшее целое решение.

Решение

3. В вершине $\displaystyle A$ прямоугольного параллелепипеда $\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1$ сидит паук, а в центре противоположной грани $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ – муха.Какое минимальное расстояние (по поверхности параллелепипеда) от паука до мухи, если стороны параллелепипеда равны: $\displaystyle AA_1 = 3;AB = 2; AD = 4$ . В ответе укажите квадрат этого расстояния.

Решение

4. Известно, что $\displaystyle F(x-1) = 2x-3$ ; $\displaystyle F(G(x)) = 3x-4$ . Найти решение уравнения $\displaystyle F(x)=G(x)$ .

Решение

5. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый состав, в котором оказалось 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

Решение

6. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 91 тыс. рублей. Когда из первого куска продали столько, сколько было первоначально во втором, а из второго — половину того, что было первоначально в первом, остаток первого куска оказался на 10 метров больше остатка второго куска. Сколько метров ткани
было в большем куске, если 1 метр ткани стоит 1400 рублей?

Решение

7. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S. После того, как из этой прогрессии вычеркнули каждый пятый член, начиная с третьего (3-й, 8-й, 13-й, …), сумма возросла и стала равна $\displaystyle \frac{7}{11}S$ . Найдите сумму первого члена и знаменателя прогрессии при $\displaystyle S = -1$ .

Решение

8. Найти сумму всех целых решений неравенства $\displaystyle \sqrt{x+8\left(3-\sqrt{8+x}\right)}<\frac{x+16}{2\sqrt{8+x}-10}$ .

Решение

9. Сколько знаков содержится в десятичной записи числа $\displaystyle 4^{15}5^{33}$ ?

Решение

10. Четырехугольник PQRT вписан в окружность. Длины его противоположных сторон PQ и RT равны соответственно 9 и 6, а длины диагоналей PR и QT равны соответственно 8 и 10. Найти отношение площадей треугольника PQR и четырехугольника PQRT.

Решение

Решения от подписчика