Ломоносов – Решения заочного тура 2018

Вычислите Latex formula.

Решение

2. Найдите объѐм правильной четырѐхугольной пирамиды, если сторона еѐ основания равна Latex formula, а угол между боковой гранью и основанием равен Latex formula. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

3. Последовательность Latex formula задана условиями Latex formula, Latex formula, Latex formula Latex formula. Найдите Latex formula. Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

4. Найдите все значения Latex formula, при которых наибольшее из чисел Latex formula и Latex formula не больше, чем Latex formula. В ответ запишите суммарную длину найденных промежутков числовой прямой, округлив еѐ при необходимости до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

5. Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в Latex formula конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в Latex formula конверта, лишней снова оказалась одна марка; когда он разложил их поровну в Latex formula конвертов, лишними оказались Latex formula марки; наконец, когда он попытался их разложить поровну в Latex formula конвертов, осталось Latex formula марок. Сколько всего марок у Андрея, если недавно, для того чтобы разместить их все у себя, ему пришлось купить второй альбом на Latex formula марок, так как одного такого же альбома уже не хватало? Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

6. Через вершину Latex formula параллелограмма Latex formula проведена прямая, пересекающая диагональ Latex formula, сторону Latex formula и прямую Latex formula в точках Latex formula, Latex formula и Latex formula соответственно. Найдите Latex formula, если Latex formula, Latex formula. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

7. Найдите сумму цифр в десятичной записи целой части Latex formula. Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

8. Найдите все целые решения уравнения Latex formula. В ответе укажите сумму Latex formula для решения Latex formula, в котором Latex formula — наибольшее, не превосходящее Latex formula. Ответ дайте в виде целого числа.

Решение

9. Найдите наименьшее значение выражения Latex formula. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение

10. В тетраэдре Latex formula известно, что Latex formula, Latex formula, Latex formula. Точки Latex formula являются центрами окружностей, вписанных в треугольники Latex formula и Latex formula. Найдите объѐм тетраэдра Latex formula. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Решение
Необходимо ввести систему координат по заданным сторонам. Далее можно будет вычислить центр каждой вписанной в соответствующую грань окружности по формулам Latex formula,Latex formula и Latex formula, где Latex formula – координаты соответствующих точек по Latex formula, а Latex formula и Latex formula – длины сторон, лежащих напротив соответствующих вершин. Так можно получить координаты вершин тетраэдра Latex formula и найти его объём с помощью определителя.